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Concept
Tenseur des contraintes
Résumé
Le tenseur des contraintes est un tenseur d'ordre 2 utilisé en mécanique des milieux continus pour caractériser l'état de contrainte, c'est-à-dire les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées d'un milieu. Le terme a été introduit par Cauchy vers 1822.
Comme les efforts intérieurs sont définis pour chaque surface coupant le milieu (on parle d'ailleurs également d'efforts surfaciques), le tenseur est défini localement, en chaque point du solide. L'état de contrainte du solide est donc représenté par un champ tensoriel. On parle aussi de ce fait de champ de contrainte.
Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le champ de contrainte est relié au champ de déformation par la loi de Hooke généralisée, c'est-à-dire que l'on peut écrire l'équation tensorielle σ = εE où σ désigne le tenseur des contraintes, ε le tenseur des déformations et E le tenseur des constantes élastiques.
Dans le cadre de la géologie structurale et de la tectonique, on parle fréquemment de tenseur des paléo-contraintes. Il représente la partie anisotrope du tenseur des contraintes, responsable des déformations comme les plis, les failles ou les schistosités. La valeur absolue des termes de la matrice n'est pas accessible, mais il est possible de retrouver l'orientation du triaxe principal, ainsi que le rapport d'intensité entre ces trois axes.
Dans certains cas, il est possible de visualiser ces contraintes par la méthode de photoélasticimétrie.
Dans le cas de certaines sollicitations simples (traction ou compression uniaxiale, flexion, torsion), la contrainte peut être représentée par un simple nombre (scalaire). Dans le cas général, on peut définir une contrainte équivalente (ou effective) qui est aussi un scalaire, mais qui ne définit que très incomplètement l'état de contrainte. Pour le décrire complétement il faut utiliser un tenseur d'ordre 2 ou, dans un référentiel donné, une matrice 3×3.
Prenons une base et un point M de la pièce.
Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.
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