Objet libre

En mathématiques, la notion d'objet libre est l'un des concepts de base de l'algèbre générale. Elle appartient à l'algèbre universelle, car elle s'applique à tous les types de structures algébriques (avec des opérations finitaires). Elle se formule plus généralement dans le langage de la théorie des catégories : le foncteur « objet libre » est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli. Des exemples d'objets libres sont les groupes libres, les groupes abéliens libres, les algèbres tensorielles... Informellement, un objet libre sur un ensemble X est une structure algébrique « générique » sur X : les seules équations qui relient les éléments de l'objet libre sont celles imposées par les axiomes qui définissent la structure algébrique. La notion d'objet libre sur un ensemble est une généralisation directe de celle d'espace vectoriel de base prescrite. Pour toute base X d'un espace vectoriel V, toute application de X dans un espace vectoriel Y s'étend de façon unique en une application linéaire de V dans Y. La définition suivante généralise cette situation à n'importe quelle catégorie. Soit (C, G) une catégorie concrète (c'est-à-dire que G, de C dans la catégorie Set des ensembles, est un foncteur fidèle, appelé « foncteur d'oubli » : pour tout objet Y de C, G(Y) est l'ensemble sous-jacent à Y, lorsqu'on « oublie » sa structure algébrique). Un objet de C libre sur un ensemble X (appelé « base » de l'objet libre) est un objet , muni d'une application (appelée « injection canonique »), vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout objet Y de C et toute application g de X dans l'ensemble G(Y), il existe un unique morphisme f : F(X) → Y tel que autrement dit, l'application: est bijective. Pour construire un objet libre sur un ensemble, on procède généralement en deux étapes. Pour les structures comportant une seule loi et si cette loi est associative, la première étape consiste à considérer tous les mots (finis) sur un certain alphabet.