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Concept
Équation des ondes
Résumé
L' ou est une équation aux dérivées partielles en physique qui régit la propagation d'une onde. C'est une équation vérifiée par de nombreux phénomènes ondulatoires de la vie courante comme le son ou la lumière.
avec :
l'opérateur laplacien ;
l'onde vectorielle;
une constante, vitesse de propagation de dans le milieu considéré ;
L'utilisation du laplacien permet de s'affranchir du choix d'un système de coordonnées.
avec :
l'opérateur de dérivée partielle seconde en appliqué sur ;
, les trois variables cartésiennes de l'espace, et celle du temps.
L'équation des ondes s'applique à des fonctions scalaires ou vectorielles, qu'on formalise en champ vectoriel ou champ scalaire. Le champ renseigne à la fois sur l'amplitude de l'onde et sa polarisation. Une équation des ondes vectorielle regroupe trois équations des ondes scalaires.
L'établissement de l'équation des ondes est venu de l’étude des vibrations d'une corde de violon. Afin de pouvoir modéliser ce comportement, les mathématiciens du ont appliqué la deuxième loi de Newton à la corde, d'abord vue comme un ensemble fini de masses ponctuelles reliées par des ressorts (dont le comportement est donné par la loi de Hooke établie en 1660), avant d'augmenter le nombre de masses pour se rapprocher de la corde.
En 1727, Jean Bernoulli reprend l'expérience de la corde de violon et constate que ses vibrations forment une sinusoïde et que la variation de son amplitude en un point forme également une courbe sinusoïdale, mettant ainsi en évidence les modes. En 1746, Jean Le Rond d'Alembert reprend le modèle des masses ponctuelles liées par des ressorts et établit uniquement à partir des équations que les vibrations de la corde dépendent à la fois de l'espace et du temps.
Pour un ressort de constante de raideur , de longueur et de masse , l'allongement vérifie :
avec
onde sur une corde vibrante
Pour une corde sans raideur de longueur , de masse sous la tension , et avec l'hypothèse de petites déformations, l'élongation vérifie :
avec
L'énergie d'application de la tension sur la longueur vérifie .
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