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Concept
Polynôme de Bernstein
Résumé
Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabilistedu théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.
Description
Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein B, ..., B définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par
:B_i^m(u) = \binom{m}{i} u^i ( 1-u)^{m-i},
où les \binom{m}{i} sont les coefficients binomiaux.
Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.
Premiers polynômes
Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :
- n = 0 :B_0^0(x) = 1
- n = 1 :B_0^1(x) = 1-x,\ B_1^1(x) = x
- n = 2 :B_0^2(x) = (1-x)^2,\ B_1^2(x) = 2x(1-x),\ B_2^2(x) = x^2
- n = 3 :B_0^3(x) = (1-x)^3,\ B_1^3(x) = 3x(1-x)^2,\ B_2^3(x) = 3x
Source officielle
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