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Concept
Interpolation lagrangienne
Résumé
En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph-Louis Lagrange, permettent d'interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d'interpolation polynomiale a été découverte par Edward Waring en 1779 et redécouverte plus tard par Leonhard Euler en 1783. C'est un cas particulier du théorème des restes chinois.
On se donne n + 1 points (avec les xi distincts deux à deux). On se propose de construire un polynôme de degré minimal qui aux abscisses xi prend les valeurs yi, ce que la méthode suivante permet de réaliser.
L'étude suivante propose de montrer que le polynôme est le seul polynôme de degré au plus n à satisfaire cette propriété.
Les polynômes de Lagrange associés à ces points sont les polynômes définis par :
On a en particulier deux propriétés :
li est de degré n pour tout i ;
c'est-à-dire et pour
Le polynôme défini par est l'unique polynôme de degré au plus n vérifiant pour tout i.
En effet :
d'une part ;
d'autre part, étant combinaison linéaire de polynômes de degré n, L est de degré au plus n ; si un autre polynôme Q vérifie ces propriétés, alors L – Q est de degré au plus n et il s'annule en n + 1 points distincts (les xk) : L – Q est donc nul, ce qui prouve l'unicité.
Pour les points , on calcule d'abord les polynômes de Lagrange :
Puis on calcule la fonction polynomiale passant par ces points :
Posons le polynôme .
On voit immédiatement qu'il vérifie N(xi) = 0 et, en utilisant la formule de Leibniz, sa dérivée vaut :
En particulier, en chaque nœud xk, tous les produits s'annulent sauf un, ce qui donne la simplification :
Ainsi, les polynômes de Lagrange peuvent être définis à partir de N :
On peut utiliser N pour traduire l'unicité : si Q vérifie pour tout i alors Q – L s'annule aux points xi donc est un multiple de N. Il est donc de la forme où P est un polynôme quelconque. On a ainsi l'ensemble des polynômes interpolateurs liés aux points (xi, yi), et L est celui de degré minimal.
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