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Concept
Espace fonctionnel
Résumé
En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble
Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.
Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :
en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble peut être identifié avec l'ensemble des fonctions de à valeurs dans , noté . Plus généralement, l'ensemble des applications est noté ;
en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel vers un autre sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ;
en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ;
en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) . Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel.
Source officielle
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