Convergence uniforme
La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. La convergence devient uniforme quand toutes les suites avancent vers leur limite respective avec une sorte de « mouvement d'ensemble ». Dans le cas de fonctions numériques d'une variable, la notion prend une forme d'« évidence » géométrique : le graphe de la fonction f se « rapproche » de celui de la limite. Soient X un ensemble, (Y, d) un espace métrique, et A un sous-ensemble de X. Soient une suite de fonctions définies sur X et à valeurs dans Y, et f une fonction définie sur X à valeurs dans Y. On dit que la suite (f) converge uniformément vers f sur A si : Remarque : en introduisant la notation (dans laquelle la borne supérieure peut a priori être infinie), la propriété (1) est équivalente à : Autrement dit, (f) converge uniformément vers f sur A si et seulement si On peut se demander a posteriori quelle est la différence entre la convergence simple d'une suite de fonctions et la convergence uniforme. En effet, la suite de fonctions (f) converge simplement vers f sur A si : Ici, l'indice dépend de alors que dans la proposition , l'indice n'en dépend pas. Cette différence peut paraître anodine mais elle est pourtant essentielle : Dans le cas de la convergence simple, pour tout élément x de A, on peut trouver un rang à partir duquel la distance devient très petite. A priori, si l'on choisit un y dans A autre que x alors le rang à partir duquel la distance devient très petite peut être différent. Dans le cas de la convergence uniforme, on peut trouver un rang à partir duquel la distance devient très petite pour n'importe quel à la fois. Cette condition est donc beaucoup plus forte. En particulier, une suite de fonctions qui converge uniformément sur un ensemble converge simplement sur celui-ci. La réciproque est en général fausse sauf dans des cas très particuliers (voir Théorèmes de Dini). Ainsi la suite des fonctions converge simplement mais pas uniformément sur ]–1, 1[, un problème survenant aux bords de l'intervalle.