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Concept
Théorie de Morse
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en topologie différentielle, la théorie de Morse est un ensemble de techniques et de méthodes mises en place durant la seconde moitié du , permettant d'étudier la topologie d'une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d'une fonction définie sur cette variété. Le premier résultat d'importance est le lemme de Morse, qui donne le lien entre points critiques d'une fonction suffisamment générale et modification de la topologie de la variété. L'homologie de Morse systématise cette approche. Parmi les résultats les plus remarquables de la théorie de Morse doivent être mentionnés les inégalités de Morse (estimation du nombre de points critiques), et le (étudiant la relation de cobordisme entre variétés).
Cette branche des mathématiques porte le nom du mathématicien américain Marston Morse.
« Pour ceux qui voient dans la mathématique une construction bien réglée, s'ordonnant logiquement selon une taxonomie bien établie, la théorie de Morse pose un problème. Elle touche à l'Analyse (au calcul des variations, à l'Analyse fonctionnelle), à l'analyse différentielle locale (théorie des singularités de fonctions), à la topologie globale (topologie différentielle et algébrique des variétés). Mais elle n'appartient en propre à aucune de ces disciplines ; elle est strictement inclassable ; sise à l'origine de presque tous les grands courants de la mathématique récente, elle domine, tel un énigmatique monolithe, une bonne part du paysage mathématique contemporain. Ce monolithe, nous n'avons pas fini de l'interroger. » - René Thom (1977)
Une des illustrations les plus simples des idées générales de la théorie de Morse est la « reconstruction » d'un tore à partir de la fonction hauteur. Soit donc un tore M (surface ayant la forme d'une chambre à air), posé verticalement. Soit h l'application qui à un point du tore associe sa coordonnée dans la direction verticale (la hauteur).
Pour des valeurs de z de plus en plus grandes on procède à la description de la partie de la surface qui est de hauteur inférieure à z.
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