Quadrilatère équidiagonal

vignette|300x300px| Un quadrilatère équidiagonal : en rouge ses diagonales (de longueur égales), en vert le losange de Varignon et en bleu, les bimédianes perpendiculaires. Un quadrilatère équidiagonal est un quadrilatère convexe dont les diagonales ont la même longueur. Les quadrilatères équidiagonaux étaient importants dans les mathématiques indiennes antiques, où les quadrilatères étaient classés en premier lieu selon qu'ils étaient équidiagonaux ou non. vignette| Un quadrilatère en cerf-volant équidiagonal maximisant rapport périmètre sur diamètre, inscrit dans un triangle de Reuleaux. Les trapèzes isocèles, les rectangles et les carrés sont des quadrilatères équidiagonaux. Le quadrilatère ayant le plus grand rapport de son périmètre à son diamètre est un cerf-volant équidiagonal ayant des angles de π/3, 5π/12, 5π/6 et 5π/12. Un quadrilatère convexe est équidiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon, le parallélogramme formé par les milieux de ses côtés, est un losange. Une autre formulation est que les bimédianes du quadrilatère (les diagonales du parallélogramme de Varignon) soient perpendiculaires. Un quadrilatère convexe ayant des diagonales de longueurs et et des bimédianes de longeurs et est équidiagonal si et seulement si L'aire S d'un quadrilatère équidiagonal peut être facilement calculée à partir des longueurs et des bimédianes. Un quadrilatère est équidiagonal si et seulement si: L'aire d'un quadrilatère convexe étant le double de l'aire de son parallélogramme de Varignon, comme les diagonales de ce parallélogramme sont les bimédianes du quadrilatère, on en déduit la condition ci-dessus. En utilisant les formules pour les longueurs des bimédianes, l'aire peut également être exprimée en fonction des côtés a, b, c, d du quadrilatère équidiagonal et de la distance x entre les milieux des diagonales par : D'autres formules d'aire peuvent être obtenues en posant p = q dans les formules d'aire d'un quadrilatère convexe.