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Concept
Polygone circonscriptible
Résumé
vignette|Un trapèze circonscriptible.
En géométrie euclidienne, un polygone circonscriptible (ou polygone tangentiel) est un polygone convexe possédant un cercle inscrit, c'est-à-dire un cercle tangent à tous ses côtés. Son polygone dual, de sommets les points de contact du cercle inscrit avec luit, est un polygone inscriptible, puisque possédant le cercle inscrit dans le polygone de départ pour cercle circonscrit.
Les exemples les plus simples de polygones circonscriptibles sont les triangles et les polygones réguliers. Un ensemble particulier de polygones circonscriptibles est celui des quadrilatères circonscriptibles, dont font partie les losanges et les cerfs-volants.
Un polygone convexe possède un cercle inscrit si et seulement si et seulement les bissectrices de ses angles sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du centre inscrit.
vignette|Pentagone circonscriptible. .
etc.
Si sont les longueurs successives des côtés d'un polygone, Il existe un polygone circonscriptible de n côtés de longueurs respectives si et seulement si le système d'équations linéaires (S)
possède une solution réelle .
Si une telle solution existe, alors sont les distances de contact du polygone (les distances entre les sommets du polygone et les points de contact avec le cercle).
Lorsque n est impair, le système (S) possède une solution unique et il existe un polygone correspondant, unique à isométrie près.
La solution du système est donnée par , les autres étant obtenues par permutation des indices.
vignette|300x300px|Losanges de cotés de longueurs données avec leur cercle inscrit
Théorème de Pitot généralisé :
Lorsque n est pair, le système (S) possède une solution si et seulement si la somme alternée des est nulle, c'est-à-dire si , par exemple si ; le système est alors indéterminé d'ordre 1, et il y a une infinité de polygones circonscriptibles non isométriques avec ces longueurs de côtés. On peut remarquer par exemple que pour n = 4, tous les losanges de côtés de longueurs sont circonscriptibles.
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