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Concept
Quadrilatère circonscriptible
Résumé
vignette|300x300px| Un quadrilatère circonscriptible avec son cercle inscrit
En géométrie euclidienne, un quadrilatère circonscriptible (ou quadrilatère tangentiel) est un quadrilatère convexe pour lequel il existe un cercle inscrit, c'est-à-dire un cercle situé à l'intérieur du quadrilatère et tangent à chacun de ses quatre côtés. On dit alors que le quadrilatère circonscrit son cercle inscrit. Un quadrilatère circonscriptible est un cas particulier de polygone circonscriptible.
Contrairement aux triangles, qui admettent toujours un cercle inscrit, les quadrilatères ne sont pas systématiquement circonscriptibles. Par exemple, parmi les rectangles, seuls les carrés ont un cercle inscrit ; un rectangle ayant des côtés consécutifs de longueurs différentes n'est pas circonscriptible. Des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un quadrilatère soit circonscriptible sont détaillées ci-dessous.
vignette|300x300px|Tous les losanges ont un cercle inscrit.
Les cerfs-volants (y compris les losanges et les carrés) sont des quadrilatères circonscriptibles. Les cerfs-volants sont d'ailleurs les quadrilatères qui sont à la fois orthodiagonaux et circonscriptibles.
Les trapèzes peuvent aussi être circonscriptibles.
Un quadrilatère circonscriptible peut être également inscriptible, c'est-à-dire que ses quatre sommets appartiennent à un même cercle, le cercle circonscrit. Un tel quadrilatère est dit bicentrique et admet donc à la fois un cercle inscrit et un cercle circonscrit. Par exemple, les cerfs-volants droits (ayant deux angles droits opposés) et les trapèzes circonscriptibles isocèles sont bicentriques.
Dans un quadrilatère circonscriptible, les quatre bissectrices des angles sont concourantes au centre du cercle inscrit. Réciproquement, un quadrilatère convexe dans lequel les quatre bissectrices sont concourantes est circonscriptible et leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit.
Le théorème de Pitot caractérise les quadrilatères circonscriptibles par les sommes des longueurs des côtés deux à deux opposés, qui sont égales entre elles, et égales au demi-périmètre s du quadrilatère.
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