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Concept
Représentation régulière
Résumé
En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, les représentations régulières (gauche et droite) d'un groupe G sont les représentations de G associées aux deux actions (à gauche et à droite) de G sur lui-même par translation. Si G est un groupe fini ce sont, pour un corps fixé K, deux actions linéaires de G sur le K-espace vectoriel KG des applications de G dans K. Si G est un groupe localement compact, ce sont deux représentations continues unitaires de G sur un certain espace de Hilbert inclus dans CG.
Représentation de groupe
Sur le K-espace vectoriel KG des applications de G dans K, la représentation régulière gauche de G, notée λ, est donnée paret la droite, notée ρ, par
En particulier les fonctions δk pour k∊G, qui sont définies paret qui, lorsque G est fini, forment la base canonique de KG, sont permutées par ces deux actions de G :
La représentation régulière gauche est la plus utilisée, et souvent appelée simplement « la » représentation régulière. La droite lui est équivalente, par l'isomorphisme d'entrelacement
Théorie des représentations d'un groupe fini
Soit G un groupe fini d'ordre g et d'élément neutre noté 1. Les propriétés décrites pour la représentation régulière gauche λ sont (par équivalence) aussi vérifiées pour la droite.
La représentation régulière est fidèle.
En effet λ est injective, puisque tout élément s de G est entièrement déterminé par λs et même par λs(δ1), qui est égal à δs.
Le caractère χ de la représentation régulière est égal à gδ1.
En effet, le fait que χ(1) = g, la dimension de l'espace, est une propriété générale à tous les caractères, et pour tout autre élément s de G, χ(s) est nul car c'est la trace d'une matrice de permutation (la matrice de λs dans la base canonique) qui ne comporte que des zéros sur la diagonale.
Dans la suite de cette section, on suppose que la caractéristique p de K ne divise pas g (autrement dit : que g est inversible dans K) et que le polynôme Xg - 1 est scindé sur K (ou même seulement le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G).
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Proximité ontologique