Tore maximal

En mathématiques, un tore maximal d'un groupe de Lie G est un sous-groupe de Lie commutatif, connexe et compact de G qui soit maximal pour ces propriétés. Les tores maximaux de G sont uniques à conjugaison près. De manière équivalente, c'est un de G, isomorphe à un tore, et maximal pour cette propriété. Le quotient du normalisateur N(T) d'un tore T par T est le groupe de Weyl associé. Tout groupe de Lie commutatif connexe est isomorphe à un quotient de Rn par un sous-réseau, donc à un tore Tn. La commutativité et la connexité impliquent en effet que l'exponentielle gG est un morphisme surjectif de groupes de Lie, dont le noyau est un sous-groupe additif discret de g. Un tore maximal d'un groupe de Lie G est par définition un sous-groupe fermé commutatif et connexe maximal, ou encore un sous-groupe de Lie isomorphe à un tore Tn. Les sous-groupes de Lie connexes de G sont exactement déterminés par les sous-algèbres de Lie de g. Dans cette correspondance biunivoque, les sous-groupes connexes et commutatifs correspondent aux sous-algèbres commutatives de g. En particulier, dans un groupe de Lie, tout sous-groupe compact commutatif connexe est inclus dans un tore maximal. Les considérations sur les tores maximaux ont leur importance en particulier dans l'étude des représentations d'un groupe de Lie. En effet, il est facile d'obtenir la classification des représentations d'un tore. Groupe de Lie compact Dans un groupe de Lie compact, l'application exponentielle est surjective. En particulier, tout élément de G appartient à l'image d'un sous-groupe à un paramètre de G. L'adhérence de cette image est un sous-groupe fermé commutatif de G, donc inclus dans un tore maximal de G. De fait : Tout élément d'un groupe de Lie compact appartient à un tore maximal. Tous les tores maximaux de G sont conjugués et en particulier ont même dimension k, appelée le rang du groupe de Lie G. Tout tore maximal est égal à son centralisateur. Si un élément g commute avec tous les éléments d'un tore maximal T de G, le centralisateur C de g est un sous-groupe de Lie de G, contenant par choix de g le tore T.