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Concept
Règle du parallélogramme
Résumé
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vignette|Les vecteurs x + y et x – y forment les diagonales du parallélogramme de côtés x et y.
En mathématiques, la forme la plus simple de la règle du parallélogramme (ou identité du parallélogramme, ou encore égalité du parallélogramme) est celle de géométrie élémentaire. Elle dit que la somme des carrés des longueurs des quatre côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs de
ses deux diagonales :
ou encore, puisque deux côtés opposés ont même longueur :
(Dans le cas où le parallélogramme est un rectangle, les diagonales sont de longueurs égales, ce qui ramène cette règle au théorème de Pythagore.)
Tout espace affine dont l'espace vectoriel associé est muni d'une norme hérite de ce fait d'une distance. La règle ci-dessus, sur les distances dans un parallélogramme, se traduit sur la norme par l'identité suivante, pour tous vecteurs x et y :
L'identité ci-dessus est valide dans les espaces préhilbertiens (en particulier les espaces de Hilbert), où la norme est définie à partir du produit scalaire par
La formulation vectorielle ci-dessus a un sens dans tout espace vectoriel normé. Un fait remarquable est que l'identité reste valide seulement si la norme se déduit d'un produit scalaire : c'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan (le produit scalaire qui génère cette norme est alors unique, d'après l'identité de polarisation).
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Une norme sur un espace vectoriel V vérifie l'identité du parallélogramme si et seulement si elle vérifie l'identité de la médiane : pour tout triangle ABC (dans un espace affine de direction V), en notant E le milieu de [AC] :
Cette équivalence résulte de l'égalité BD = 2BE, où D désigne le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Elle est tout aussi immédiate en comparant la formulation vectorielle ci-dessus de l'identité du parallélogramme et la réécriture de celle de la médiane (avec ) sous la forme
Pour tout espace préhilbertien H, on a, plus généralement :
(en développant le membre de droite, petit à petit ou directement).
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