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Concept
Identité de polarisation
Résumé
En mathématiques, les identités de polarisation concernent l'algèbre multilinéaire. Elles correspondent à une caractérisation des formes bilinéaires symétriques, des formes sesquilinéaires hermitiennes. Si E est un espace vectoriel, ces formes sont des applications de E×E dans le corps des scalaires (réels ou complexes). Elles sont intégralement caractérisées par leur comportement sur la diagonale, c'est-à-dire par la connaissance d'une telle forme f sur l'ensemble des points (x, x) où x est un élément quelconque de E. L'application φ qui à x associe f(x, x) est la forme quadratique associée.
Il existe ainsi une équivalence entre les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques.
Une identité de polarisation permet d'exprimer une forme bilinéaire symétrique ou une forme sesquilinéaire hermitienne à partir de la forme quadratique associée.
Les identités de polarisation sont de deux types différents, celles qui s'appliquent sur les formes bilinéaires et celles pour les formes sesquilinéaires.
Le contexte des identités de polarisation est celui d'un espace vectoriel E quelconque sur un corps K
commutatif et de caractéristique différente de deux. Soit φ une forme quadratique sur E, non nécessairement définie et non nécessairement positive (si le corps K est ordonné).
En particulier, soit E un espace préhilbertien réel dont la norme d'un vecteur x est notée : et le produit scalaire de deux vecteurs x et y : . Les deux égalités suivantes sont vérifiées :
et
Les identités de polarisation proviennent de la propriété suivante, si f est une forme bilinéaire de E×E quelconque :
et l'application qui à (x, y) associe (f(x, y) + f(y, x))/2 est symétrique.
Une conséquence des identités de polarisation est que si f est une forme bilinéaire symétrique telle que f (x,x) = 0 sur un sous-espace vectoriel F, alors f est nulle sur le sous-espace vectoriel F x F (f (x,y) = 0 pour tous éléments de F).
Si le corps K sous-jacent à E n'est pas celui des réels mais est, comme lui, muni d'une valeur absolue, la notion de norme conserve un sens.
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