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Concept
Fibré des repères
Résumé
En géométrie différentielle, un fibré des repères est un certain type de fibré principal qui correspond à un fibré vectoriel sur une variété différentielle. Les points du fibré des repères sont les repères linéaires des fibres du fibré vectoriel correspondant.
L'exemple le plus commun de fibré des repères est le fibré des repères tangents correspondant au fibré tangent d'une variété différentielle. Le fibré des repères tangents revient souvent en géométrie différentielle puisque, par réduction structurelle, il sert à définir plusieurs autres fibrés des repères dont le fibré des repères orthonormaux d'une variété riemannienne ou encore le fibré des repères symplectiques d'une variété symplectique.
La notion de fibré des repères joue un rôle important en physique théorique dont en théorie de jauge, en quantification géométrique ainsi qu'en relativité générale dans sa formulation en tétrades où des champs de repères non holonomiques sont considérés. Le fibré des repères joue aussi un rôle important en physique quantique où son double recouvrement sert à définir la notion de spin 1/2 des fermions. Ensuite, le fibré des repères joue aussi un rôle dans les théories du tout et en théorie de Kaluza-Klein où les groupes structurels en jeu, e.g. , peuvent être interprétés comme sous-groupes d'un pour n assez grand. Enfin, l'importance de la notion de fibré des repères est que, contrairement à la notion plus générale de fibré principal, toute variété différentielle est naturellement munie d'un fibré des repères tangents.
Soient :
V un espace vectoriel sur un corps ;
le groupe général linéaire de l'espace vectoriel V ;
B une variété différentielle ;
un V-fibré vectoriel sur B.
Définition :
Le fibré des repères du fibré vectoriel E sur B est le -fibré principal dont les fibres sont données en tout point par :
Ici, est la fibre de E sur le point x et dénote l'ensemble des isomorphismes allant de l'espace vectoriel V à l'espace vectoriel .
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