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Concept
Forme indéterminée
Résumé
En mathématiques, une forme indéterminée est une opération apparaissant lors d'un calcul d'une limite d'une suite ou d'une fonction sur laquelle on ne peut conclure en toute généralité et qui nécessite une étude au cas par cas.
Par exemple, on ne peut conclure de manière générale sur la limite de la somme de deux suites dont l'une tend vers et l'autre vers . Selon les cas, cette limite peut être nulle, égale à un réel non nul, être égale à ou ou bien même ne pas exister.
Pour lever une indétermination, il existe de nombreuses techniques, par exemple via des procédés algébriques (factorisation, multiplication par la quantité conjuguée, etc.) ou des procédés analytiques (utilisation de la dérivée, de développements limités, de la règle de L'Hôpital, etc.).
En mathématiques, on est fréquemment amené à étudier la limite d'une opération (addition, multiplication, etc.) de deux fonctions ou de deux suites. Il est des situations où l'on peut déterminer cette limite uniquement en connaissant les limites respectives des fonctions ou suites concernées.
Mais, dans un certain nombre de cas, cette limite ne peut être déterminée a priori, elle dépend des fonctions ou suites en présence.
Voici un exemple d'une telle situation.
Dans cet exemple, les deux limites de départ sont égales à et on constate que la limite du quotient dépend du cas étudié. On ne peut pas établir de règle générale donnant la valeur d'une limite du type . C'est ce que l'on appelle une forme indéterminée.
Voici un second exemple dans le cas des suites.
Ici, on a deux suites dont la limite est . On constate que la valeur de la limite de la différence de ces deux suites dépend du cas étudié. On ne peut donc pas établir de règle générale donnant la valeur d'une limite du type . C'est donc une forme indéterminée.
L'objectif de cet article est de présenter les différents types de formes indéterminées et d'illustrer un certain nombre de techniques permettant de les lever.
On classe en général les formes indéterminées en sept catégories (ici désigne soit un nombre réel, soit ou ).
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