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Concept
Empilement compact
Résumé
Un empilement compact d'une collection d'objets est un agencement de ces objets de telle sorte qu'ils occupent le moins d'espace possible (donc qu'ils laissent le moins de vide possible).
Le problème peut se poser dans un espace (euclidien ou non) de dimension n quelconque, les objets étant eux-mêmes de dimension n. Les applications pratiques sont concernées par les cas (plan et autres surfaces) et (espace ordinaire).
Les objets, généralement considérés comme indéformables, sont caractérisés par leurs formes et par la distribution de leurs tailles (multiplier toutes les tailles par un même facteur ne change rien au problème). Le problème le plus classique est celui de l'empilement compact d'une infinité de n-sphères identiques ( : empilement de cercles identiques dans le plan ; : empilement de sphères identiques dans l'espace). De très nombreux problèmes plus généraux font varier la forme des objets, la distribution de leurs tailles, leur déformabilité ou leurs interactions mutuelles.
L'efficacité d'un empilement est caractérisée par sa compacité c, définie comme le rapport de l'espace occupé par les objets à l'espace dans lequel on les a empilés (). On l'appelle aussi densité (qu'on note alors d), qui se confond effectivement avec la densité ordinaire pour et la densité surfacique pour si l'on suppose que le matériau des objets est de densité uniforme égale à un.
Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayon r autour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent un triangle équilatéral puisqu'ils sont distants de 2r les uns des autres. Chaque angle valant (), on peut mettre ainsi six triangles avec un sommet en commun pour former un hexagone régulier, puis continuer ainsi de proche en proche.
La compacité (ou densité surfacique) de cet arrangement est :
On comprend intuitivement que c'est l'organisation la plus compacte possible en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée, mais ce n'est pas une démonstration.
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