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Concept
Conjecture de Kepler
Résumé
vignette|250x250px|Empilement compact de 35 sphères.
La conjecture de Kepler est une ancienne conjecture (démontrée en 1998 et certifiée en 2014) formulée par le physicien, astronome et mathématicien Johannes Kepler en 1611. Cette conjecture énonce que, pour un empilement de sphères égales, en espace libre, la densité maximale est atteinte pour un empilement compact de plans compacts. Cette densité d vaut environ 74 % :
vignette|250x250px|empilement de trois plans compacts de sphères: succession A,B,C ou succession A,B,A.
Dans un plan compact chaque sphère est au contact de six autres. Dans l'empilement compact de deux plans compacts chaque sphère du plan supérieur est posée dans le creux formé par trois sphères du plan inférieur en contact deux à deux. Si un plan compact est noté A, les autres plans compacts peuvent être de type A, B ou C selon leur décalage horizontal par rapport au plan A. L'empilement compact est réalisé par l'empilement de plans A, B ou C de telle sorte que deux plans successifs ne soient pas du même type : ABABAB... (empilement hc, pour hexagonal compact), ABCABCABC... (empilement cfc, pour cubique à faces centrées) mais aussi ABCBABCBABCB... et n'importe quel autre succession vérifiant la condition ci-dessus, même non périodique.
László Fejes Tóth démontre en 1953 que la conjecture de Kepler peut être réduite à un problème à un nombre fini de paramètres.
En 1998, Thomas Hales annonce avoir démontré cette conjecture. Pour ce faire, il suit la voie ouverte par Tóth et réduit la démonstration à la recherche d'une borne inférieure à une fonction à 150 variables, pour un nombre élevé de configurations (plus de 5000), effectuée à l'aide de calculs par ordinateur impliquant la résolution d'environ problèmes d'optimisation linéaire. Cette preuve reposait sur deux parties : l'une, classique, en forme de démonstration mathématique, l'autre basée sur des calculs fait à l'ordinateur. Mais la partie informatique n'était pas vérifiable, laissant un doute sur la validé du travail.
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