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Concept
Applications ouvertes et fermées
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un
vers des ouverts de l'autre. De même, une application fermée envoie les fermés du premier espace vers des fermés du second.
Soit deux espaces topologiques X et Y ; on dit qu'une application f de X vers Y est ouverte si pour tout ouvert U de X, l' f(U) est ouverte dans Y ; de même, on dit que f est fermée si pour tout fermé U de X, l'image f(U) est fermée dans Y.
Dans les deux cas, il n'est pas nécessaire que f soit continue ; bien que les définitions puissent paraître semblables, les applications ouvertes ou fermées jouent un rôle bien moins important en topologie que les applications continues, pour lesquelles c'est l' de tout ouvert de Y qui doit être un ouvert de X.
Une application f : X → Y est dite relativement ouverte si sa corestriction X → f(X) est ouverte.
L'application continue f : R → R définie par f(x) = x est (propre donc) fermée, mais non ouverte.
L'application identité d'un espace Y est un homéomorphisme, donc est continue, ouverte et fermée. Mais si Y est un sous-espace de X, l'inclusion de Y dans X n'est ouverte que si Y est ouvert dans X, puisque l' de toute application ouverte est un ouvert de l'espace d'arrivée. Préciser l'ensemble d'arrivée de l'application est donc essentiel. Il en va de même en remplaçant « ouvert(e) » par « fermé(e) ».
La bijection f de [0, 2π[ dans le cercle unité qui à tout angle θ associe le point d'affixe e est continue, donc sa bijection réciproque f est ouverte et fermée (mais discontinue au point d'affixe 1). Ceci montre que l'image d'un compact par une application ouverte ou fermée n'est pas nécessairement compacte.
Si Y est muni de la topologie discrète (c'est-à-dire si tous les sous-ensembles de Y sont à la fois ouverts et fermés), toutes les applications f : X → Y sont ouvertes et fermées, mais non nécessairement continues. Ainsi, la fonction partie entière allant de R vers les entiers Z est ouverte et fermée, mais non continue.
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