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Concept
Spectre d'anneau
Résumé
En mathématiques, le spectre premier d'un anneau commutatif unitaire A désigne l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble est muni d'une topologie (de Zariski) et d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaires qui en font un espace topologique annelé en anneaux locaux. Cet espace est alors appelé un schéma affine et il sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique.
Le spectre d'un anneau commutatif A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec A.
Spec Z s'identifie à 0 uni avec l'ensemble des nombres premiers positifs (1 n'étant pas premier). Les nombres premiers p correspondent aux idéaux premiers pZ, et 0 à l'idéal nul.
Le spectre d'un corps commutatif est réduit à un point. En effet les seuls idéaux d'un corps sont le corps entier et 0.
Si K est un corps commutatif, Spec K[X] s'identifie à 0 uni avec les polynômes premiers unitaires sur K. Si de surcroît K est algébriquement clos, alors Spec K[X] s'identifie à un point ω (pour l'idéal nul) uni disjointement avec le corps K lui-même.
Spec R[X] s'identifie à 0 (idéal nul) uni disjointement avec le demi-plan complexe . Un réel a correspond à l'idéal premier (X – a)R[X] et un complexe a + ib avec b > 0 correspond à l'idéal premier (X – a – ib)(X – a + ib)R[X].
À tout idéal I de A, on associe Z(I), qui
est l'ensemble des idéaux premiers de A qui contiennent I.
Remarquons que :
Les Z(I) forment donc les fermés d'une topologie sur Spec A, que l'on appelle topologie de Zariski.
Pour tout élément f de A, l'ensemble des idéaux premiers de A ne contenant pas f est un ouvert de Zariski dans Spec A (c'est le complémentaire de Z(fA)) noté D(f) ; on appelle parfois ouverts distingués ou ouverts principaux les ouverts de cette forme ; ils constituent une base de la topologie de Zariski sur Spec A.
La topologie de Zariski n'est en général pas séparée, comme le montrent les exemples suivants.
En identifiant Spec Z à l'union de 0 et des nombres premiers positifs, ses fermés de Zariski sont les ensembles finis de nombres premiers (avec bien sûr Spec Z et le vide).
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