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Concept
Grassmannienne
Résumé
En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou G(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».
Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à un hyperplan.
Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.
Pour le voir, on note l'ensemble des matrices de taille (n, p) et de rang p et la variété de Stiefel des matrices de taille (n, p) dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.
On remarque que est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de sur , ainsi qu'à celui de l'action de (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur .
On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky.
Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de dans l'espace projectif des produits extérieurs de degré k dans l'espace R prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de R.
On introduit la base canonique de E = R et l'on note S une k-partie de {1, ... , n}, le sous-espace engendré par les vecteurs .
On note l'ensemble des supplémentaires de .
Première étape
Soit V un élément de V.
Tout vecteur s'écrit de façon unique avec et . L'application est . Comme V et ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note l'isomorphisme réciproque.
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