Grassmannienne

Résumé

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou G(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ». Généralités Exemples

Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à un hyperplan.
Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotien

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Grassmannienne

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2008

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Springer Heidelberg2015

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Clustering on Multi-Layer Graphs via Subspace Analysis on Grassmann Manifolds

Xiaowen Dong, Pascal Frossard, Pierre Vandergheynst

Relationships between entities in datasets are often of multiple nature, like geographical distance, social relationships, or common interests among people in a social network, for example. This information can naturally be modeled by a set of weighted and undirected graphs that form a global multi-layer graph, where the common vertex set represents the entities and the edges on different layers capture the similarities of the entities in term of the different modalities. In this paper, we address the problem of analyzing multi-layer graphs and propose methods for clustering the vertices by efficiently merging the information provided by the multiple modalities. To this end, we propose to combine the characteristics of individual graph layers using tools from subspace analysis on a Grassmann manifold. The resulting combination can then be viewed as a low dimensional representation of the original data which preserves the most important information from diverse relationships between entities. We use this information in new clustering methods and test our algorithm on several synthetic and real world datasets where we demonstrate superior or competitive performances compared to baseline and state-of-the-art techniques. Our generic framework further extends to numerous analysis and learning problems that involve different types of information on graphs.

Institute of Electrical and Electronics Engineers2014

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