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Concept
Ruban de Möbius
Résumé
vignette|Réalisation à partir d'une bande de papier.
En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius ou boucle de Möbius) est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face (et un seul bord) contrairement à un ruban classique qui en possède deux. La surface a la particularité d'être réglée et non orientable. Elle a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882). Le nom du premier fut retenu grâce à un mémoire présenté à l'Académie des sciences à Paris. On trouve également les dénominations de « bande », « anneau » ou « ceinture » de Möbius, et on écrit parfois « Mœbius » ou « Moebius ».
Il est facile de visualiser la bande de Möbius dans l'espace : un modèle simple se réalise en faisant subir une torsion d'un demi-tour à une longue bande de papier, puis en collant les deux extrémités, créant un ruban sans fin n'ayant ni intérieur ni extérieur.
bande de moebius.png|Confection du ruban.
Fichier:MöbiusStripAsSquare.svg|Schématisation du montage : recoller les deux flèches en respectant le sens.
Le ruban de Möbius peut être engendré par un segment pivotant dont le centre décrit un cercle fixe. Un paramétrage correspondant est
vignette|Ruban de Möbius.
ou l'ensemble des solutions de l'équation suivante :
Les courbes v = v0, t variant seul, sont bien des segments, reliant à vitesse uniforme le point v = v0, t = –1 et le point v = v0, t = 1. Ce segment est donc de longueur 2.
La courbe t = 0 est un cercle de diamètre 2 dans le plan horizontal ; elle représente la trajectoire du centre des segments. L'angle que fait le segment avec la direction horizontale est v0. Lorsque le centre a fait un tour complet sur le cercle horizontal (ajout de π à la variable v), le segment a fait un demi-tour seulement. Ce qui provoque le raccordement par exemple du point t = 1, v = π avec t = –1, v = 0.
Le bord du ruban est donné par la courbe t = 1 ou t = –1.
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