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Concept
Caractéristique d'Euler
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie et en topologie algébrique, la caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme d'un espace topologique ou de la structure de cet espace. Elle est communément notée χ.
La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon. Leonhard Euler, par qui le concept eut son nom, fut responsable pour beaucoup dans ce travail de pionnier. En mathématiques plus modernes, la caractéristique d'Euler apparait dans l'homologie et les méthodes cohomologiques. Elle est donnée en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés :
Théorème de Descartes-Euler
La caractéristique d'Euler tient son nom du théorème de Descartes-Euler concernant l'étude des polyèdres convexes. Descartes puis Euler ont remarqué que, pour des polyèdres, la quantité S – A + F, où S correspond au nombre de sommets, A au nombre d'arêtes et F au nombre de faces, restait constamment égale à 2. La caractéristique d'Euler pour des polyèdres a donc été définie par
Elle est égale à 2 pour tous les polyèdres qui ont la topologie d'une sphère, convexes ou pas (les polyèdres orientables de genre 0). Pour un polyèdre orientable de genre g ( ayant g « trous »), elle est égale à 2(1 – g).
Les polyèdres discutés ci-dessus sont, en langage moderne, des CW-complexes finis à deux dimensions (lorsque toutes les faces sont triangulaires, ils sont appelés complexes simpliciaux finis à deux dimensions). En général, pour un CW-complexe fini quelconque, la caractéristique d'Euler peut être définie comme la somme alternée, en dimension d :
où k désigne le nombre de cellules de dimension n dans le complexe ; cette somme vaut 1 – (–1) pour les polytopes convexes de dimension d, résultat démontré par Henri Poincaré en 1893.
Plus généralement encore, pour un espace topologique quelconque, on définit le n-ième nombre de Betti b comme le du n-ième groupe d'homologie singulière.
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