Théorème de la moyenne géométrique

thumb|upright=1.2|L'aire du carré gris et l'aire du rectangle gris sont égales, soit Le théorème de la hauteur du triangle rectangle ou théorème de la moyenne géométrique est un résultat de géométrie élémentaire qui exprime une relation entre la hauteur sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle et les deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse. Il établit que la moyenne géométrique des longueurs des deux segments est égale à la hauteur. Si h désigne la hauteur d'un triangle rectangle et p et q les longueurs des segments sur l'hypoténuse, le théorème s'écrit : ou, en termes d'aires : Cette deuxième version donne une méthode pour construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un rectangle donné. Pour un rectangle de côtés p et q, on note le sommet en haut à gauche D. On prolonge le segment de longueur q à sa gauche par un segment de longueur p (en utilisant un arc de cercle AE centré en D) et on trace un demi-cercle d'extrémités A et B de diamètre le nouveau segment de longueur p+q. On trace ensuite une droite perpendiculaire au diamètre en D qui va intersecter le demi-cercle en C. Par le théorème de Thalès, C et le diamètre forment un triangle rectangle de hauteur DC, donc DC est le côté d'un carré de même aire que le rectangle. La méthode permet aussi de donner une construction de racines carrées (voir nombre constructible), car en partant d'un rectangle de largeur 1, le carré construit aura un côté égal à la racine carrée de la longueur du rectangle de départ. Une autre application permet de prouver géométriquement l'inégalité arithmético-géométrique de deux nombres. Pour les nombres p et q, on construit un demi-cercle de diamètre p + q. Alors la hauteur représente la moyenne géométrique et le rayon la moyenne arithmétique des deux nombres. Puisque la hauteur est toujours inférieure ou égale au rayon, on en déduit l'inégalité. Le théorème peut aussi être vu comme un cas spécial de la puissance d'un point par rapport à un cercle, car la réciproque du théorème de Thalès assure que l'hypoténuse du triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit.