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Concept
Triangle rectangle
Résumé
En géométrie euclidienne, un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit. Les deux autres angles sont alors complémentaires, de mesure strictement inférieure. On nomme alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés, adjacents à l’angle droit, sont appelés cathètes.
L’hypoténuse est alors le plus grand côté du triangle, et sa longueur est reliée à celles des deux autres côtés par le théorème de Pythagore. Cette relation est même caractéristique des triangles rectangles. Dans le cas des triangles à côtés entiers, elle mène à la définition des triplets pythagoriciens.
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore précise que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des côtés de l’angle droit, autrement dit, si un triangle ABC est rectangle en C, alors .
Réciproquement, tout triangle ABC vérifiant l'égalité précédente est un triangle rectangle en C.
Comme un triangle rectangle peut se réaliser comme la moitié d’un rectangle engendré par les deux cathètes, l’aire d’un triangle rectangle est égale à la moitié du produit des longueurs de ces deux côtés.
Récriproquement, si l’aire d’un triangle est le produit des longueurs de deux côtés divisé par 2, alors ce triangle est rectangle au sommet commun à ces côtés.
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est à égale distance des trois sommets, c’est-à-dire qu’il est le centre du cercle circonscrit, ou encore que la médiane issue de l’angle droit a pour longueur la moitié de l’hypoténuse.
Réciproquement, tout point d’un cercle forme un triangle rectangle avec les extrémités d’un diamètre de ce cercle.
Cette équivalence peut être vue comme un cas particulier du théorème de l'angle au centre : l’angle inscrit est droit si et seulement si l’angle au centre est plat.
La hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède des propriétés caractéristiques dont l'une apparaît dans les premières pages du livre de René Descartes, La géométrie.
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