Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Dimension d'un espace vectoriel
Résumé
vignette|espace à zéro dimension.
En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Cette définition repose d'une part sur l'existence de bases, corollaire du théorème de la base incomplète, et d'autre part sur le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels, qui assure que deux bases d'un même espace ont même cardinal. Cette dimension porte parfois le nom du mathématicien allemand Georg Hamel. À isomorphisme près, les K-espaces vectoriels sont classifiés par leurs dimensions. Une terminologie est spécifique aux espaces de petite dimension :
Espace nul : désigne un espace E de dimension 0. Il admet comme unique élément son vecteur nul. La famille vide est une famille libre maximale ; c'est l'unique base de E ;
Droite vectorielle ou droite : désigne un espace vectoriel E de dimension 1. Tout vecteur non nul de E forme une base de E ;
Plan vectoriel ou plan : désigne un espace vectoriel E de dimension 2. Tout couple (u,v) de vecteurs non colinéaires de E forme une base de E.
Exemples d'espaces vectoriels
La dimension d'un espace vectoriel peut être calculée en choisissant une base canonique :
Le corps K, vu comme K-espace vectoriel, est de dimension 1. Pour tout entier naturel n, le produit cartésien Kn est l'espace vectoriel des n-uplets de scalaires. Il est de dimension n, sa base canonique comportant exactement n vecteurs. Il suit de la définition que toute base de Kn comporte exactement n vecteurs.
Plus généralement, pour tout ensemble A, on note K(A) l'ensemble des familles (λa)a∈A d'éléments de K indexées par A et à support fini. L'addition et la multiplication par un scalaire étant définis terme à terme, K(A) est un K-espace vectoriel.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Concepts associés (77)
Anneau (mathématiques)
vignette|Richard Dedekind - 1870 En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions sont représentées dans la littérature mathématique, selon la considération d'un élément neutre : la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, avec la multiplication ayant un élément neutre ; tandis que, selon de nombreux ouvrages, la présence d'une unité multiplicative n'est pas requise, et ce type d'anneau est ailleurs dénommé pseudo-anneau.
Dimension d'un espace vectoriel
vignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Espace de Hilbert
vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.
Cours associés (78)
MATH-111(en): Linear algebra (english)
The purpose of the course is to introduce the basic notions of linear algebra and its applications.
MATH-111(e): Linear Algebra
L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.
COM-514: Mathematical foundations of signal processing
A theoretical and computational framework for signal sampling and approximation is presented from an intuitive geometric point of view. This lecture covers both mathematical and practical aspects of