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Concept
Dimension d'un espace vectoriel
Résumé
vignette|espace à zéro dimension.
En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Cette définition repose d'une part sur l'existence de bases, corollaire du théorème de la base incomplète, et d'autre part sur le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels, qui assure que deux bases d'un même espace ont même cardinal. Cette dimension porte parfois le nom du mathématicien allemand Georg Hamel. À isomorphisme près, les K-espaces vectoriels sont classifiés par leurs dimensions. Une terminologie est spécifique aux espaces de petite dimension :
Espace nul : désigne un espace E de dimension 0. Il admet comme unique élément son vecteur nul. La famille vide est une famille libre maximale ; c'est l'unique base de E ;
Droite vectorielle ou droite : désigne un espace vectoriel E de dimension 1. Tout vecteur non nul de E forme une base de E ;
Plan vectoriel ou plan : désigne un espace vectoriel E de dimension 2. Tout couple (u,v) de vecteurs non colinéaires de E forme une base de E.
Exemples d'espaces vectoriels
La dimension d'un espace vectoriel peut être calculée en choisissant une base canonique :
Le corps K, vu comme K-espace vectoriel, est de dimension 1. Pour tout entier naturel n, le produit cartésien Kn est l'espace vectoriel des n-uplets de scalaires. Il est de dimension n, sa base canonique comportant exactement n vecteurs. Il suit de la définition que toute base de Kn comporte exactement n vecteurs.
Plus généralement, pour tout ensemble A, on note K(A) l'ensemble des familles (λa)a∈A d'éléments de K indexées par A et à support fini. L'addition et la multiplication par un scalaire étant définis terme à terme, K(A) est un K-espace vectoriel.
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