Topologie cofinie

La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini. Formellement, si l'on note τ la topologie cofinie sur X, on a : ou plus simplement, en définissant la topologie via les fermés : les fermés de X sont X et ses parties finies. La topologie induite sur une partie Y de X est la topologie cofinie sur Y. Sur tout ensemble X, la topologie cofinie est la moins fine des topologies T. Si X est infini, les ouverts non vides de la topologie cofinie sont les éléments du filtre de Fréchet sur X. Lorsque X est fini, toute partie de X est cofinie, donc appartient à τ : la topologie cofinie est en fait la topologie discrète sur X. Lorsque X est infini, la topologie cofinie n'est pas séparée. A fortiori (puisqu'elle est T), elle ne vérifie aucun des axiomes de séparation T, T et T. L'espace X est connexe et localement connexe. Plus précisément, la convergence d'une suite dépend de l'ensemble A des valeurs par lesquelles elle repasse une infinité de fois : si A a au moins deux éléments, la suite n'a pas de limite ; si A = {a}, a est l'unique limite de la suite ; si A est vide, la suite converge vers tout point de X. Lorsque X est non dénombrable, il n'est pas à bases dénombrables de voisinages. Lorsque X a au moins la puissance du continu, il est connexe par arc et localement connexe par arc. En effet, toute application injective du segment [0, 1] dans X est continue. Tout espace muni de la topologie cofinie est quasi-compact et séquentiellement compact. Si X est une variété algébrique de dimension au plus 1, alors son espace topologique sous-jacent est cofini. La topologie du spectre premier de l'anneau Z des entiers est strictement moins fine que la topologie cofinie, car le singleton constitué du point générique (correspondant à l'idéal nul) est fini mais pas fermé.