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Concept
Topologie cofinie
Résumé
La topologie cofinie est la topologie que l'on peut définir sur tout ensemble X de la manière suivante : l'ensemble des ouverts est constitué de l'ensemble vide et parties de X cofinies, c'est-à-dire dont le complémentaire dans X est fini. Formellement, si l'on note τ la topologie cofinie sur X, on a :
ou plus simplement, en définissant la topologie via les fermés :
les fermés de X sont X et ses parties finies.
La topologie induite sur une partie Y de X est la topologie cofinie sur Y.
Sur tout ensemble X, la topologie cofinie est la moins fine des topologies T.
Si X est infini, les ouverts non vides de la topologie cofinie sont les éléments du filtre de Fréchet sur X.
Lorsque X est fini, toute partie de X est cofinie, donc appartient à τ : la topologie cofinie est en fait la topologie discrète sur X.
Lorsque X est infini, la topologie cofinie n'est pas séparée. A fortiori (puisqu'elle est T), elle ne vérifie aucun des axiomes de séparation T, T et T. L'espace X est connexe et localement connexe.
Plus précisément, la convergence d'une suite dépend de l'ensemble A des valeurs par lesquelles elle repasse une infinité de fois :
si A a au moins deux éléments, la suite n'a pas de limite ;
si A = {a}, a est l'unique limite de la suite ;
si A est vide, la suite converge vers tout point de X.
Lorsque X est non dénombrable, il n'est pas à bases dénombrables de voisinages.
Lorsque X a au moins la puissance du continu, il est connexe par arc et localement connexe par arc. En effet, toute application injective du segment [0, 1] dans X est continue.
Tout espace muni de la topologie cofinie est quasi-compact et séquentiellement compact.
Si X est une variété algébrique de dimension au plus 1, alors son espace topologique sous-jacent est cofini.
La topologie du spectre premier de l'anneau Z des entiers est strictement moins fine que la topologie cofinie, car le singleton constitué du point générique (correspondant à l'idéal nul) est fini mais pas fermé.
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