Transformation de Mellin

En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales. La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin. La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur est la fonction notée ou et définie par l'intégrale généralisée : Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant : Plus généralement, si f est continue sur ; pour des nombres réels α < β, quand et quand , alors l'intégrale généralisée converge absolument pour α < Re (s) < β et définit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < β. La transformée de Mellin d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle . La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0(où H est la fonction de Heaviside, H(u) = 1 si u > 0 et H(u) = 0 si u < 0). La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0( est la fonction gamma d'Euler). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0. La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 1(l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ≥ 0). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1(l'intégrale généralisée est semi-convergente). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1. Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)( est la fonction bêta).