Résumé
En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales. La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin. La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur est la fonction notée ou et définie par l'intégrale généralisée : Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant : Plus généralement, si f est continue sur ; pour des nombres réels α < β, quand et quand , alors l'intégrale généralisée converge absolument pour α < Re (s) < β et définit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < β. La transformée de Mellin d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle . La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0(où H est la fonction de Heaviside, H(u) = 1 si u > 0 et H(u) = 0 si u < 0). La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0( est la fonction gamma d'Euler). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0. La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 1(l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ≥ 0). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1(l'intégrale généralisée est semi-convergente). La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1. Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)( est la fonction bêta).
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