GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Homological algebraHomological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of .
Variété différentielleEn mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Henri PoincaréHenri Poincaré est un mathématicien, physicien théoricien et philosophe des sciences français, né le à Nancy et mort le à Paris. Poincaré a réalisé des travaux d'importance majeure en optique et en calcul infinitésimal. Ses avancées sur le problème des trois corps en font un fondateur de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos ; il est aussi un précurseur majeur de la théorie de la relativité restreinte et de la théorie des systèmes dynamiques.
Topologievignette|Déformation continue d'une tasse avec une anse, en un tore (bouée). thumb|Un ruban de Möbius est une surface fermée dont le bord se réduit à un cercle. De tels objets sont des sujets étudiés par la topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Complexe différentielEn mathématiques, un complexe différentiel est un groupe abélien (voire un module), ou plus généralement un objet d'une catégorie abélienne, muni d'un endomorphisme de carré nul (appelé différentielle ou bord), c'est-à-dire dont l' est contenue dans le noyau. Cette condition permet de définir son homologie, qui constitue un invariant essentiel en topologie algébrique. Un complexe différentiel peut être gradué pour constituer un complexe de chaines ou de cochaines).
Alexandre GrothendieckAlexandre Grothendieck, né Alexander Grothendieck (prononcé en allemand : ), est un mathématicien français, né le à Berlin et mort le à Saint-Lizier, près de Saint-Girons (Ariège). Il est resté longtemps apatride tout en vivant principalement en France ; il a acquis la nationalité française en 1971. Il est considéré comme le refondateur de la géométrie algébrique et, à ce titre, comme l'un des plus grands mathématiciens du . Il était connu pour son intuition extraordinaire et sa capacité de travail exceptionnelle.
Site (mathématiques)En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une topologie de Grothendieck est une structure sur une catégorie permettant de voir certains objets de comme les ensembles ouverts d'un espace topologique. Une catégorie munie d'une topologie de Grothendieck est appelée un site. Une topologie de Grothendieck axiomatise la notion de recouvrement d'un espace topologique par des ouverts. Cela permet de généraliser la définition de faisceaux, et leur cohomologie, à un site quelconque.
Torevignette|Modélisation d'un tore Un tore est un solide géométrique représentant un tube courbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte : en ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore est un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface. Une chambre à air, une bouée, certains joints d'étanchéité ou encore certains beignets (les donuts nord-américains) ont ainsi une forme plus ou moins torique ; en architecture, un tore correspond à une moulure ronde, semi-cylindrique.
