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Concept
Transformation de Legendre
Résumé
La transformation de Legendre est une opération mathématique qui, schématiquement, transforme une fonction définie par sa valeur en un point en une fonction définie par sa tangente. Elle tire son nom du mathématicien Adrien-Marie Legendre.
Les cas classiques d'utilisation de la transformation de Legendre se rencontrent en thermodynamique et en mécanique lagrangienne. En thermodynamique, elle permet de calculer le potentiel thermodynamique adapté à des conditions particulières. En mécanique, elle permet de passer du lagrangien à l'hamiltonien et vice versa.
Une fonction f peut être représentée de plusieurs façons. La façon la plus usuelle est de la représenter dans un repère par l'ensemble des points de coordonnées où x prend toutes les valeurs possibles de la variable, et prend la valeur de l'image de x. Cet ensemble est appelé courbe représentative de la fonction f dans le repère.
De nombreux problèmes peuvent être plus facilement résolus si on représente différemment la fonction f. Ceci est par exemple le cas de la transformation de Fourier, où la fonction est représentée par ses coefficients de Fourier. La transformation de Fourier fait partie d'une classe générale qu'on appelle les transformations intégrales.
Une autre façon de représenter une fonction, que l'on suppose convexe pour l'instant, est d'utiliser non pas l'intégrale, mais la dérivée de la fonction. On se donne une droite de pente p pour laquelle on va chercher le point où la droite est tangente à la courbe de la fonction. On repère l'ordonnée à l'origine u où la droite croise l'axe y. Etant donné la fonction convexe f, à chaque valeur de p correspond une valeur de u, ce que l'on peut noter par :
La fonction g est appelée la transformée de Legendre de la fonction f.
La courbe a exactement la même information que la courbe . Ceci veut dire que si nous connaissons f, nous pouvons déduire la fonction g, et réciproquement. Nous verrons ci-dessous que f est elle-même la transformée de Legendre de g.
Concrètement, soit le point où la droite de pente p est tangente à la courbe.
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