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Concept
Coordonnées canoniques
Résumé
En mathématiques et en mécanique classique, les coordonnées canoniques sont des ensembles de coordonnées sur l'espace des phases qui peuvent être utilisées pour décrire un système physique à un moment donné dans le temps. Les coordonnées canoniques sont utilisées dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique. Un concept étroitement lié apparaît également en mécanique quantique ; voir le théorème de Stone-von Neumann et les relations de commutation canoniques pour plus de détails.
Comme la mécanique hamiltonienne est généralisée par la géométrie symplectique et que les transformations canoniques sont généralisées par les transformations de contact, la définition du des coordonnées canoniques en mécanique classique peut être généralisée à une définition plus abstraite du des coordonnées sur le faisceau cotangent d'une variété (la notion mathématique d'espace des phases).
En mécanique classique, les coordonnées canoniques sont des coordonnées et dans l'espace des phases qui sont utilisés dans le formalisme hamiltonien. Les coordonnées canoniques satisfont aux relations fondamentales entre crochets de Poisson :
Un exemple typique de coordonnées canoniques est pour être les coordonnées cartésiennes habituelles, et être les composants de l'élan. D'où en général, le les coordonnées sont appelées «moments conjugués».
Les coordonnées canoniques peuvent être obtenues à partir des coordonnées généralisées du formalisme Lagrangien par une transformation de Legendre, ou d'un autre ensemble de coordonnées canoniques par une transformation canonique.
Les coordonnées canoniques sont définies comme un ensemble spécial de coordonnées sur le fibré cotangent d'une variété . Ils sont généralement écrits comme un ensemble de ou avec les x ou les q désignant les coordonnées sur la variété sous-jacente et les p désignant le moment conjugué, qui sont des formes 1 dans le fibré cotangent au point q dans la variété.
Une définition commune des coordonnées canoniques est tout ensemble de coordonnées sur le faisceau cotangent qui permet à la forme canonique d'être écrite sous la forme
jusqu'à un différentiel total.
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