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Concept
Connexion de Koszul
Résumé
En géométrie différentielle, une connexion (de Koszul) est un opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel. Cette notion a été introduite par Jean-Louis Koszul en 1950 et formalise le transport parallèle de vecteurs le long d'une courbe en termes d'équation différentielle ordinaire. Les connexions sont des objets localement définis auxquels sont associées les notions de courbure et de torsion. L'un des exemples les plus simples de connexions de Koszul sans torsion est la connexion de Levi-Civita naturellement définie sur le fibré tangent de toute variété riemannienne.
L'ensemble des connexions de Koszul forme un espace affine réel dont l'espace directeur est l'espace des 1-formes différentielles de la base B du fibré E à valeurs dans End(E), le fibré vectoriel des endomorphismes de E. Une connexion sur E induit des connexions sur les fibrés construits à partir de E par des opérations algébriques élémentaires (produit extérieur, produit tensoriel, ...). L'utilisation des connexions permet en particulier d'effectuer un calcul différentiel extérieur raisonnable sur les sections de E. Elles sont fortement utilisées en analyse.
Soit E l'espace total d'un fibré vectoriel réel de rang fini ayant pour base une variété différentielle réelle B. Une connexion est un opérateur qui, à une section globale s de E et à un champ de vecteurs X de B, associe une section de E notée vérifiant les conditions suivantes :
Linéarité en X : Pour toute fonction différentiable f de B à valeurs réelles, et pour tout champ de vecteur X de B, on a :
Règle de Leibniz : Pour toute fonction différentiable f de B à valeurs réelles et pour tout champ de vecteur X de B, on a :
La première propriété implique en particulier que la valeur de en un point b de B comme fonction du champ de vecteur X ne dépend en fait que de X(b), valeur de X au point b. En tant que fonction de s, la seconde propriété montre une dépendance par rapport aux variations premières de s en b. En particulier, si s est une section locale de E définie sur U et v est un vecteur tangent à B en un point x de U, alors est bien défini comme vecteur de Ex.
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