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Concept
Forme de connexion
Résumé
En géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes.
La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge.
La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann.
Soient :
un groupe de Lie ;
l'élément identité de ;
l'algèbre de Lie de ;
la représentation adjointe de sur ;
une variété différentielle ;
un -fibré principal sur .
Dénotons l'action de groupe à droite de sur par :
de sorte que pour tout et tout .
La différentielle à l'identité de est l'application qui envoie un élément à son champ vectoriel fondamental sur :
Définition :
Une 1-forme de connexion sur est une 1-forme différentielle sur qui est à valeurs en et qui vérifie les axiomes suivants :
- est -équivariante, i.e. :
- est l'application inverse de l'application envoyant à son champ vectoriel fondamental , i.e. : Connexion d'Ehresmann Sur repose une distribution verticale canonique qui est intégrable et dont les feuilles sont les -fibres de . Une connexion d'Ehresmann sur est une distribution horizontale qui satisfait trois axiomes :
- est -invariante, i.e. : La relation entre la notion de connexion d'Ehresmann et de forme de connexion se résume à ce qu'une distribution horizontale donnée soit la distribution noyau d'une forme de connexion donnée : L'axiome d'-équivariance d'une forme de connexion est équivalent à l'axiome de -invariance de la distribution horizontale . Définition : Considérons une 1-forme de connexion sur .
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