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Concept
Ouvert (topologie)
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.
Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques. Des définitions spécifiques plus explicites existent pour des sous-types d'espaces topologiques tels que les espaces métriques, espaces vectoriels normés ou autres. Ces définitions restent cependant cohérentes avec cette définition générale.
Espace topologique
Sur un ensemble E, on peut définir une topologie T comme un ensemble de parties de E vérifiant les trois propriétés suivantes :
E et l'ensemble vide appartiennent à T ;
T est stable par intersection finie : U1∩U2 appartient à T dès que U1 et U2 appartiennent à T ;
T est stable par réunion quelconque : pour tout ensemble I (fini ou infini) d'indices, ∪U appartient à T dès que tous les Ui appartiennent à T.
Alors par définition un sous-ensemble U de E est un ouvert de E pour la topologie T si et seulement si U appartient à T (il en résulte que la topologie T peut être définie comme l'ensemble des ouverts de E selon T).
À partir des ouverts on peut définir les voisinages mais inversement :
une partie U de E est ouverte si et seulement si U est égal à son intérieur, autrement dit si U est voisinage de chacun de ses points.
Les espaces topologiques les plus couramment étudiés sont munis de diverses structures supplémentaires :
Espaces métriques
Espaces vectoriels normés
Espaces euclidiens
Espaces hermitiens
Espaces hilbertiens
Espaces de Banach
...
Un ouvert de la droite ou du plan est un sous-ensemble qui présente la propriété caractéristique suivante : en choisissant comme origine un point quelconque de ce sous-ensemble, tous les points autour de celui-ci sont encore dans ce sous-ensemble à condition de ne pas trop s'éloigner.
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