Espace uniforme

En mathématiques, la notion d'espace uniforme, introduite en 1937 par André Weil, est une généralisation de celle d'espace métrique. Une structure uniforme est une structure qui permet de définir la continuité uniforme. On peut y parvenir de deux manières différentes, l'une en généralisant la notion de distance, l'autre avec une axiomatique proche de celle des espaces topologiques. On montre que ces deux approches sont équivalentes. Un écart sur un ensemble est une application [0, +∞] telle que pour tout : (symétrie); (inégalité triangulaire). Une pseudo-distance est un écart à valeurs finies. On constate deux différences par rapport à la notion de distance : la première est mineure : un écart peut prendre la valeur +∞. Mais on peut toujours remplacer d par un écart équivalent (du point de vue de la topologie et de la structure uniforme) à valeurs finies, par exemple min(1,d) ; la seconde est essentielle : un écart ne vérifie pas nécessairement l'axiome de séparation pour les distances, qui est : d(x, y) = 0 ⇔ x = y. On définit la topologie associée à un écart de la même façon que pour une distance : on considère les « boules » ouvertes B(x, r) = { y ∈ E | d(x, y) < r }, et les ouverts de E sont alors les réunions de boules ouvertes. La topologie obtenue n'est en général pas séparée, ni même T0. Elle est séparée si et seulement si l'axiome de séparation ci-dessus est vérifié. Deux écarts sont dits (topologiquement) équivalents s'ils définissent la même topologie. Si est une fonction croissante telle que telle que f(0) = 0, continue en 0, strictement croissante au voisinage de 0 et telle que f(u + v) ≤ f(u) + f(v), alors, en posant t(x, y) = f(d(x, y)), on obtient un écart équivalent à d. En particulier, en utilisant la fonction on prouve que tout écart est équivalent à un écart fini. Il est donc possible de ne travailler qu'avec des écarts qui ne prennent jamais la valeur infinie. Une jauge (ou structure uniforme) sur un ensemble E est une famille d'écarts sur E.