Cercle de Carlyle

En mathématiques, un cercle de Carlyle (du nom de son inventeur Thomas Carlyle) est un cercle associé à une équation du second degré, dans un plan muni d'un repère orthonormé. Le cercle a la propriété de construire les solutions de l'équation comme les intersections du cercle avec l'axe des abscisses. Les cercles de Carlyle sont notamment utilisés dans la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Soit l'équation du second degré Le cercle dans le plan affine muni d'un repère cartésien admettant le segment passant par les points A(0, 1) et B(s, p) comme diamètre est appelé le cercle de Carlyle de l'équation. La propriété définissant le cercle de Carlyle peut être établie ainsi : l'équation du cercle avec le segment AB comme diamètre est Les abscisses des points où le cercle intersecte l'axe des abscisses sont les racines de l'équation (obtenus en fixant y = 0 dans l'équation du cercle) 300px|thumb|Construction d'un pentagone régulier avec des cercles de Carlyle 300px|thumb|Construction d'un heptadécagone régulier avec des cercles de Carlyle 500px|thumb|Construction d'un 257-gone régulier avec des cercles de Carlyle Le problème de la construction d'un pentagone régulier est équivalent au problème de construction des racines de l'équation Une racine de cette équation est z = 1 qui correspond au point P0(1, 0). En réduisant l'équation pour supprimer cette solution, il reste à déterminer les zéros de l'équation Ces racines sont complexes et peuvent être représentées sous la forme ω, ω, ω, ω avec ω = exp (2πi/5), correspondant aux points P, P, P, P. En notant on a, par calcul direct et en utilisant le fait que ω = ω et ω = ω Donc p1 et p2 sont les racines de l'équation quadratique Le cercle de Carlyle associé à cette équation du second degré a donc un diamètre d'extrémités (0, 1) et (-1, -1), avec son centre en (-1/2, 0). Les cercles de Carlyle sont utilisés pour construire p et p. Des définitions de p et p, il suit également Dès lors, on peut construire les points P, P, P et P.