Prébase

En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase A d'une topologie T sur un ensemble X est un ensemble de parties de X qui engendre T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle tous les éléments de A sont des ouverts. Un ensemble de parties d'un ensemble X est donc toujours une prébase d'une certaine topologie sur X (celle qu'il engendre), ce qui est une différence avec la notion de base d'une topologie : un ensemble de parties de X n'est une base d'une certaine topologie que si l'intersection de deux éléments quelconques de cet ensemble est une union d'éléments de ce même ensemble. Toute prébase n'est donc pas toujours une base, mais permet d'en construire une : il suffit en effet de la clôturer par intersection finie pour obtenir une base définissant la même topologie. En revanche, toute base d'une certaine topologie est bien sûr également une prébase pour cette topologie. Soient X un ensemble et A un ensemble de parties de X. Il existe des topologies sur X qui contiennent A (ne serait-ce que la topologie discrète). Parmi elles, il en existe une « moins fine que » ( « plus petite que », au sens : « incluse dans ») toutes les autres. En effet, toute intersection de topologies sur X est une topologie sur X ; il suffit donc de faire l'intersection de toutes les topologies sur X contenant A. On l'appelle la topologie sur X engendrée par A . On vient de la construire de l'extérieur. On peut aussi la construire « de l'intérieur », en deux étapes. Dans un premier temps, on complète A en formant l'ensemble B de toutes les intersections finies d'éléments de A (en convenant ici que l'intersection indexée par l'ensemble vide est X). Alors, B est la base d'une topologie, qui n'est autre que celle engendrée par A. En clair, une partie P de X est ouverte pour la topologie engendrée par A si et seulement si P est réunion (quelconque) d'intersections finies d'éléments de A. Soient X un ensemble, A un ensemble de parties de X, et T une topologie sur X.