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Concept
Fonction zêta locale
Résumé
En mathématiques et dans la théorie des nombres, une fonction zêta locale est une fonction génératrice pour le nombre de solutions d'un ensemble d'équations définies sur un corps fini F, dans les extensions de corps de F.
L'analogie avec la fonction zêta de Riemann ζ vient de la considération de la dérivée logarithmique .
Étant donné F, il existe, à un isomorphisme près, un seul corps tel que , pour k = 1,2, ... Étant donné un ensemble d'équations polynomiales — ou une variété algébrique V — définie sur F, nous pouvons compter le nombre des solutions dans et créer la fonction génératrice
La définition correcte pour Z(t) est de rendre log Z égal à G donc de poser .
Nous aurons Z(0) = 1 puisque G(0) = 0, et Z(t) est a priori une série formelle.
Supposons que tous les soient égaux à 1 ; ceci se produit par exemple, si nous démarrons avec une équation comme X = 0, c’est-à-dire que géométriquement, nous prenons pour V un point. Alors
est le développement d'un logarithme (pour |t| < 1). Dans ce cas, nous avons
Pour prendre quelque chose de plus intéressant, soit V la droite projective sur F. Si F possède q éléments, alors elle a q + 1 points, incluant comme nous devons, le point à l'infini. Par conséquent, nous aurons
et
pour |t| suffisamment petit.
Dans ce cas, nous avons
Le rapport entre les définitions de G et Z peut être expliqué de nombreuses manières. En pratique, cela rend Z une fonction rationnelle de t, quelque chose qui est intéressant même dans le cas où V est une courbe elliptique sur un corps fini.
Ce sont les fonctions Z qui sont conçues pour multiplier, pour obtenir les fonctions zêta globales. Celles-ci impliquent différents corps finis (par exemple la famille entière de corps Z/p.Z lorsque p parcourt l'ensemble des nombres premiers. Dans ce rapport, la variable t subit la substitution par , où est la variable complexe traditionnellement utilisée dans les séries de Dirichlet.
fonction zêta de Hasse-Weil
Ceci explique aussi pourquoi on utilise la dérivée logarithmique par rapport à .
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