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Concept
Cohomologie étale
Résumé
La cohomologie étale est la théorie cohomologique des faisceaux associée à la topologie étale. Elle mime le comportement habituel de la cohomologie classique sur des objets mathématiques où celle-ci n'est pas envisageable, en particulier les schémas et les espaces analytiques.
La cohomologie étale a été introduite pour les schémas par Alexander Grothendieck et Michael Artin dans SGA 4 et 41⁄2, avec l'objectif de réaliser une cohomologie de Weil et ainsi résoudre les conjectures de Weil, objectif partiellement rempli, plus tard complété par Pierre Deligne avec l'introduction de la cohomologie l-adique. L'adjectif « étale » se réfère à la notion de domaine étalé en géométrie analytique complexe.
À l'origine, dans SGA 4, Grothendieck avait introduit la cohomologie étale dans le contexte plus général des sites et topoi. Dans de nombreuses situations cependant, cet appareil théorique n'est pas nécessaire.
Plus tard, une cohomologie étale pour les espaces analytiques (en particulier le demi-plan supérieur p-adique) a été développée par Vladimir Berkovich pour le programme de Langlands.
Pour comprendre le besoin d'une telle théorie, il s'agit de comprendre en quoi la cohomologie usuelle est insatisfaisante.
On peut observer ce qui se passe si l'on essaye de travailler sur la cohomologie classique (d'espace topologique) d'un schéma, par exemple avec la topologie de Zariski :
Si est une variété complexe et un faisceau constant, on n'a pas le résultat « naturel » que pour tout i > 0.
Si est un schéma ou un de dimension d, ses groupes de cohomologie (topologique) sont nuls à partir du (d+1)-ième inclus, alors qu'en tant que variété complexe algébrique de dimension d, on s'attend à ce que les groupes soient nuls à partir de 2d+1.
Topologie étale
En un certain sens, la topologie de Zariski est trop grossière pour rendre compte de la cohomologie : elle manque d'ouverts.
Cependant, on ne peut pas « simplement » ajouter des ouverts à la topologie de Zariski.
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