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Concept
Simplexe
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, un simplexe est une généralisation du triangle à une dimension quelconque.
En géométrie, un simplexe ou n-simplexe est l'analogue à n dimensions du triangle. Il doit son nom au fait que c'est l'objet géométrique clos le « plus simple » qui ait n dimensions. Par exemple sur une droite (1 dimension) l'objet le plus simple à 1 dimension est le segment, alors que dans le plan (2 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 2 dimensions est le triangle, et dans l'espace (3 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 3 dimensions est le tétraèdre (pyramide à base triangulaire).
Plus exactement, un simplexe est l'enveloppe convexe d'un ensemble de (n+1) points utilisé pour former un repère affine dans un espace affine de dimension n, ce qui signifie que :
sur une droite le repère sera fait d'une origine et de 1 point (généralement un repère (O, I), définissant l'unité de l'axe), et [OI] est un segment.
dans le plan le repère sera fait d'une origine et de 2 points (généralement un repère (O, I, J), définissant l'unité pour chaque axe), et OIJ est un triangle.
dans l'espace le repère sera fait d'une origine et de 3 points (généralement un repère (O, I, J, K), définissant l'unité pour chaque axe), et OIJK est un tétraèdre.
Les coordonnées des sommets du simplexe (dans le repère formé de ses sommets) sont alors :
e = (0, 0, 0, ..., 0),
e = (1, 0, 0, ..., 0),
e = (0, 1, 0, ..., 0),
e = (0, 0, 0, ..., 1)
Cependant, par souci de symétrie entre les sommets, on préfère souvent plonger le simplexe dans un hyperplan affine de l'espace de dimension n+1, en attribuant à chaque sommet les n + 1 coordonnées suivantes :
e = (1, 0, 0, 0, ..., 0),
e = (0, 1, 0, 0, ..., 0),
e = (0, 0, 1, 0, ..., 0),
e = (0, 0, 0, 0, ..., 1)
Le nombre n est appelé la dimension ou le degré ou même l'ordre du n-simplexe s.
Par exemple, un 0-simplexe est un point, un 1-simplexe est un segment, un 2-simplexe est un triangle, un 3-simplexe est un tétraèdre, un 4-simplexe est un pentachore (ou pentatope), etc.
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