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Concept
Positionnement multidimensionnel
Résumé
Le positionnement multidimensionnel est un ensemble de techniques statistiques utilisées dans le domaine de la visualisation d'information pour explorer les similarités dans les données. Le positionnement multidimentionnel est un cas particulier d'analyse multivariée. Typiquement, un algorithme de positionnement multidimensionnel part d'une matrice de similarité entre tous les points pour affecter à chaque point une position dans un espace à dimensions. Pour = 2 ou = 3, les positions peuvent être visualisées sur un plan ou dans un volume par un nuage de points.
Étant donné points dans un espace de dimension , le positionnement multidimensionnel consiste à représenter ces points dans un espace de dimension par nouveaux points en conservant les proximités. On se donne pour cela une matrice de distance qui peut être définie par la distance euclidienne . Si on part de valeurs de similarité, il faut les convertir en valeurs de vraie distance mathématique, car il faut conserver à l'esprit que distance et similarité sont des notions opposées : plus faible est la distance, plus grande est la similarité, et réciproquement. Présenté sous cet angle, le positionnement multidimensionnel est une technique de réduction de dimension, au même titre que l'analyse en composantes principales.
En pratique, le positionnement multidimensionnel consiste à trouver vecteurs de taille qui minimisent une fonction de coût appelée stress.
Un positionnement multidimensionnel métrique se réfère à une fonction de coût définie par la distance euclidienne ou le produit scalaire entre les points .
Une fonction de coût naturelle pour le positionnement multidimensionnel est
mais cette formulation n'a en général pas de solution explicite.
Pour le positionnement multidimensionnel classique, la fonction de coût est remplacée par
Le terme est défini par avec . De façon générale, la matrice , matrice de similarité, peut être obtenue à partir d'une matrice de distance par double centrage :
où est une matrice de taille ne contenant que des uns.
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