Condition de Hölder

En analyse, la continuité höldérienne ou condition de Hölder — nommée d'après le mathématicien allemand Otto Hölder — est une condition suffisante, généralisant celle de Lipschitz, pour qu’une application définie entre deux espaces métriques soit uniformément continue. La définition s’applique donc en particulier pour les fonctions d’une variable réelle. Si (X, d) et (Y, d) sont deux espaces métriques, une fonction f : X → Y est dite a-höldérienne s’il existe une constante C telle que pour tous x, y ∈ X : La continuité höldérienne d’une fonction dépend donc d’un paramètre a ∈ ]0, 1]. Les applications 1-höldériennes sont les applications lipschitziennes. Pour a ∈ ]0, 1] fixé, l’ensemble des fonctions réelles a-höldériennes bornées sur X est un espace vectoriel, couramment noté C(X), particulièrement important en analyse fonctionnelle. Une fonction réelle d'une variable réelle peut aussi n'être que localement a-höldérienne (sur certains intervalles dans son domaine de définition, la valeur du paramètre a déterminant la largeur maximale de ces intervalles). La fonction racine carrée est 1/2-höldérienne sur R. Plus généralement, pour 0 < a ≤ 1, la fonction puissance x ↦ x est a-höldérienne sur R. Cependant, elle n'est b-höldérienne sur R pour aucun b ≠ a. La fonction est définie et continue sur R*, et se prolonge par continuité en 0 par la valeur 0. Cette fonction intervient dans les définitions mathématiques de l’entropie (lire par exemple entropie de Shannon ou entropie de Kolmogorov). Sur le segment [0, 1], la fonction h est a-höldérienne pour tout a ∈ ]0, 1[ mais pas pour a = 1. La courbe de Peano est une application continue surjective de [0, 1] sur [0, 1]. Elle est 1/2-höldérienne. Mais il n’existe aucune application continue surjective de [0, 1] sur [0, 1] qui soit a-höldérienne pour a > 1/2. L’argument, donné plus bas, repose sur la notion de dimension. Le mouvement brownien est une loi aléatoire sur les fonctions continues . Presque sûrement, une trajectoire du mouvement brownien est localement a-höldérienne pour a < 1/2 mais n’est pas -höldérienne.

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