Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Théorème de prolongement de Tietze
Résumé
thumb|Le mathématicien Pavel Urysohn a généralisé le résultat de Heinrich Tietze aux espaces normaux.
En mathématiques, le théorème de prolongement de Tietze encore appelé de Tietze-Urysohn est un résultat de topologie. Ce théorème indique qu'une fonction continue à valeurs réelles définie sur un fermé d'un espace topologique normal se prolonge continument sur tout l'espace. Le théorème s'applique donc en particulier aux espaces métriques ou compacts. Ce résultat généralise le lemme d'Urysohn.
Ce théorème possède de multiples usages en topologie algébrique. Il permet, par exemple de démontrer le théorème de Jordan, indiquant qu'un lacet simple divise l'espace en deux composantes connexes.
Une première version du théorème est l'œuvre du mathématicien Heinrich Tietze (1880 - 1964) pour les espaces métriques, et a été généralisée par Pavel Urysohn (1898 - 1924) aux espaces normaux.
Dans (ii), l'espace R peut évidemment être remplacé par n'importe quel espace homéomorphe, comme un intervalle ouvert non vide ]–M, M[. De même, dans (iii), [–M, M] peut être remplacé par n'importe quel segment réel, comme le segment [0, 1].
On verra au cours de la preuve que l'hypothèse de séparation est en fait inutile. Un espace est dit normal s'il est à la fois T et séparé or, d'après le lemme d'Urysohn, un espace X (séparé ou pas) vérifie T si et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G. On va en déduire les équivalences : (ii) ⇔ (iii) ⇔ T.
(iii) ⇒ T : il suffit d'appliquer (iii) à la fonction f de A = F ⋃ G dans [0, 1] qui vaut 1 sur F et 0 sur G.
(iii) ⇒ (ii) s'en déduit : si f de A dans ]–M, M[ possède un prolongement continu g de X dans [–M, M], elle en possède aussi un de X dans ]–M, M[, en multipliant g par une fonction continue de X dans [0,1] qui vaut 1 sur A et qui s'annule aux points où g vaut M ou –M.
La réciproque (ii) ⇒ (iii) est immédiate : si f de A dans [–M, M] possède un prolongement continu g de X dans R, elle en possède aussi un de X dans [–M, M], obtenu en « rabotant » g, i.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.