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Concept
Point à l'infini
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie et en topologie, on appelle point à l'infini un objet adjoint à l'espace que l'on veut étudier pour pouvoir plus commodément y définir certaines notions de limites « à l'infini », ou encore pour obtenir des énoncés plus uniformes, tels que « deux droites se coupent toujours en un point, situé à l'infini si elles sont parallèles ».
La notion de point à l'infini apparait au dans le cadre du développement des méthodes de la perspective conique, avec l'invention de la « costruzione abbreviata » d'Alberti.
L'utilisation de ces points par les géomètres des (par exemple Maurolico ou da Vignola en Italie, Stevin en Hollande, Desargues et Pascal en France), puis la systématisation de leur usage au , a conduit à la création d'une discipline mathématique : la géométrie projective.
La généralisation du langage géométrique dans les mathématiques du , et la possibilité de compactifier les corps des réels et des complexes par l'ajout d'un élément à l'infini a conduit à son tour à l'utilisation de la terminologie « point à l'infini » dans d'autres branches des mathématiques que celles directement dérivées de la géométrie.
La notion de point à l'infini, et plus généralement, d'élément géométrique à l'infini (droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini), n'est pas une notion purement projective, mais elle permet de passer de l'affine au projectif, et du projectif à l'affine, et a un sens dans un espace affine (droite, plan, etc.) complété en un espace projectif.
Ainsi
Une droite affine à laquelle on ajoute un point, dit alors point à l'infini, forme une droite projective.
Un plan affine auquel on ajoute une droite à l'infini forme un plan projectif. Dans un plan affine complété en un plan projectif, chaque droite projective a un et un seul point à l'infini. Celui-ci se trouve sur la droite à l'infini du plan projectif. Deux droites projectives ont le même point à l'infini si et seulement si, dans le plan affine, les deux droites affines correspondantes sont parallèles.
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