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Groupe orthogonal

Résumé

En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E. La loi de composition de ce groupe est la composition des applications. Dans cet article, K désigne un corps commutatif et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur K et q désigne une forme quadratique non dégénérée sur E. Généralités L'ensemble des éléments f du groupe linéaire GL(E) de E tels que q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E est un groupe pour la composition des applications. On l'appelle groupe orthogonal de q et on le note O(q) ou O(E, q). Exemple. Un cas import

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_orthogonal

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In previous work, we defined the category of functors F-quad, associated to F-2-vector spaces equipped with a nondegenerate quadratic form. In this paper, we define a special family of objects in the category F-quad, named the mixed functors. We give the complete decompositions of two elements of this family that give rise to two new infinite families of simple objects in the category F-quad.

2007

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We analyse the existence of multiple critical points for an even functional J : H -> R in the following context: the Hilbert space H can be split into an orthogonal sum H = Y circle plus Z in such a way that inf{J(u) : u is an element of Z and parallel to u parallel to = rho >= alpha > J(0) and that here exits a point b is an element of H with parallel to b parallel to > rho and with J(b)

Springer Heidelberg2016

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This thesis focuses on the numerical analysis of partial differential equations (PDEs) with an emphasis on first and second-order fully nonlinear PDEs. The main goal is the design of numerical methods to solve a variety of equations such as orthogonal maps, the prescribed Jacobian equation and inequality, the elliptic and parabolic Monge-Ampère equations. For orthogonal map we develop an \emph{operator-splitting/finite element} approach for the numerical solution of the Dirichlet problem. This approach is built on the variational principle, the introduction of an associated flow problem, and a time-stepping splitting algorithm. Moreover, we propose an extension of this method with an \emph{anisotropic mesh adaptation algorithm}. This extension allows us to track singularities of the solution's gradient more accurately. Various numerical experiments demonstrate the accuracy and the robustness of the proposed method for both constant and adaptive mesh. For the prescribed Jacobian equation and the three-dimensional Monge-Ampère equation, we consider a \emph{least-squares/relaxation finite element method} for the numerical solution of the Dirichlet problems. We then introduce a relaxation algorithm that splits the least-square problem, which stems from a reformulation of the original equations, into local nonlinear and variational problems. We develop dedicated solvers for the algebraic problems based on Newton method and we solve the differential problems using mixed low-order finite element method. Overall the least squares approach exhibits appropriate convergence orders in

L^2(\Omega)

and

H^1(\Omega)

error norms for various numerical tests. We also design a \emph{second-order time integration method} for the approximation of a parabolic two-dimensional Monge-Ampère equation. The space discretization of this method is based on low-order finite elements, and the time discretization is achieved by the implicit Crank-Nicolson type scheme. We verify the efficiency of the proposed method on time-dependent and stationary problems. The results of numerical experiments show that the method achieves nearly optimal orders for the

L^2(\Omega)

and

H^1(\Omega)

error norms when smooth solutions are approximated. Finally, we present an adaptive mesh refinement algorithm for the elliptic Monge-Ampere equation based on the residual error estimate. The robustness of the proposed algorithm is verified using various test cases and two different solvers which are inspired by the two previous proposed numerical methods.

EPFL2021

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L^2(\Omega)

and

H^1(\Omega)

L^2(\Omega)

and

H^1(\Omega)

EPFL2021