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En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E. La loi de composition de ce groupe est la composition des applications. Dans cet article, K désigne un corps commutatif et E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur K et q désigne une forme quadratique non dégénérée sur E. L'ensemble des éléments f du groupe linéaire GL(E) de E tels que q(f(x)) = q(x) pour tout vecteur x de E est un groupe pour la composition des applications. On l'appelle groupe orthogonal de q et on le note O(q) ou O(E, q). Exemple. Un cas important est celui de la forme quadratique suivante (en supposant que la caractéristique de K est différente de 2) : E = K, et q est la forme quadratique canonique : Le groupe orthogonal correspondant est noté O(n,K), ou On(K). Il est appelé groupe orthogonal standard de degré n sur K. Il s'identifie canoniquement au groupe des matrices orthogonales n×n (une matrice est dite orthogonale si sa transposée est son inverse). La loi interne de ce groupe est la multiplication matricielle. C'est un sous-groupe du groupe linéaire GL(n,K). Le déterminant de tout élément de O(q) est égal à 1 ou à –1. Si la caractéristique de K est différente de 2, l'ensemble O(q) ∩ SL(E) des éléments de O(q) dont le déterminant est 1 est un sous-groupe de O(q), que l'on appelle groupe spécial orthogonal de q et on le note SO(q) ou SO(E, q). Dans le cas de l'exemple vu plus haut, on le note aussi SO(n, K) ou SOn(K). Donc SO(n, K) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n dont le déterminant est 1. SO(q) est un sous-groupe d'indice 2 de O(q), et donc SO(n, K) est un sous-groupe d'indice 2 de O(n, K).

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