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Concept
Axiome du choix dénombrable
Résumé
vignette|Chaque ensemble dans la suite dénombrable d'ensembles (Si) = S1, S2, S3, ... contient un élément différent de zéro, et éventuellement une infinité (ou même une infinité indénombrable) d'éléments. L'axiome du choix dénombrable nous permet de sélectionner arbitrairement un seul élément de chaque ensemble, formant une suite correspondante d'éléments (xi) = x1, x2, x3, ...
Laxiome du choix dénombrable, noté ACω, est un axiome de la théorie des ensembles qui stipule que tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides doit avoir une fonction de choix, c'est-à-dire que pour toute suite (A(n)) d'ensembles non vides, il existe une fonction f définie sur N (l'ensemble des entiers naturels) telle que f(n) ∈ A(n) pour tout n ∈ N.
L'axiome du choix dénombrable (ACω) est strictement plus faible que l'axiome du choix dépendant (DC), qui à son tour est plus faible que l'axiome du choix (AC). Paul Cohen a montré que ACω n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) sans l'axiome du choix. ACω est vrai dans le .
ZF + ACω suffit pour prouver que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Elle suffit également pour prouver que tout ensemble infini est un (de manière équivalente : possède un sous-ensemble infini dénombrable).
ACω est particulièrement utile pour le développement de l'analyse, où de nombreux résultats dépendent de l'existence d'une fonction de choix pour une famille dénombrable d'ensembles de nombres réels. Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω.
Une idée fausse communément répandue est que ACω a une nature récurrente, et est donc démontrable en tant que théorème (dans ZF, ou équivalent, ou même dans des systèmes plus faibles) par récurrence.
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