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Concept
Tribu borélienne
Résumé
vignette|Normal distribution pdf.
En mathématiques, la tribu borélienne (également appelée tribu de Borel ou tribu des boréliens) sur un espace topologique est la plus petite tribu sur contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.
Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle.
La tribu borélienne peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite tribu qui contient tous les sous-ensembles fermés de .
Si la topologie de admet une prébase dénombrable , alors la tribu borélienne associée à est aussi engendrée par .
Étant donné un sous-ensemble de , la tribu borélienne de pour la topologie induite est identique à la trace sur de la tribu borélienne de . Cela se prouve en une ligne si on applique le lemme de transport à l'injection canonique de dans .
Sur un produit de deux espaces topologiques et , la tribu produit des tribus boréliennes de et est toujours incluse dans la tribu borélienne du produit. Quand et sont à base dénombrable, il y a même égalité. On trouvera plus de détails à l'article « tribu produit ».
Un exemple particulièrement important est la tribu borélienne de l’ensemble des nombres réels. La tribu borélienne sur l'ensemble des nombres réels est la plus petite tribu sur R contenant tous les intervalles.
La tribu borélienne est aussi engendrée par les intervalles ouverts de la forme , où parcourt R ; il suffit même de considérer dans une partie dense de R comme Q l’ensemble des rationnels.
De la même façon, en dimension quelconque, la tribu borélienne sur R est engendrée par les pavés. De nombreuses variantes sont possibles, ainsi la tribu borélienne de R est également engendrée par :
les boules euclidiennes ouvertes (éventuellement en se restreignant aux rayons rationnels et centres à coordonnées rationnelles)
les pavés ouverts
les pavés fermés
les pavés de la forme
les produits de la forme
les produits de la forme
(dans chacun des exemples, on peut se borner à utiliser des nombres rationnels : toutes ces familles génératrices sont donc dénombrables).
Source officielle
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