Fonction mesurable

Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F. Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si : L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie. Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E). La tribu borélienne sur R étant engendrée (par exemple) par l'ensemble des demi-droites de la forme ]a , +∞[, le lemme de transport assure que f est mesurable sur (E, E) si et seulement si l'image réciproque par f de chacune de ces demi-droites est dans E. Par exemple : toute fonction réelle d'une variable réelle qui est monotone est borélienne. Pour les fonctions à valeurs dans la droite achevée = R ∪ {–∞, +∞}, un résultat analogue se vérifie avec les intervalles ]a , +∞]. Soient E un espace mesurable et (f) une suite de fonctions mesurables de E dans R (ou même dans ). Alors la fonction f définie par f = sup f (à valeurs dans ) est mesurable. En effet, l'image réciproque par f de ]a , +∞] peut s'écrire et cet ensemble est une réunion dénombrable d'éléments de E, donc un ensemble mesurable. Par passage aux opposés, on en déduit que, si les fonctions f de E dans sont toutes mesurables, alors la fonction inf f l'est également. On peut alors montrer que les fonctions limites inférieure et supérieure liminf f et limsup f sont, elles aussi, mesurables. En particulier : les quatre dérivées de Dini d'une fonction mesurable de R dans R sont elles-mêmes mesurables ; toute limite simple de fonctions mesurables est mesurable (ce qui d'ailleurs se démontre directement et plus généralement pour des fonctions à valeurs dans un espace métrique – mais pas à valeurs dans un espace topologique quelconque) ; toute fonction dérivée est mesurable. Si (E, E) est un espace métrisable séparable muni de sa tribu borélienne, toute fonction mesurable sur E (à valeurs réelles) et bornée est limite monotone de fonctions bornées continues.