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Concept
Fonction mesurable
Résumé
Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F.
Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si :
L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie.
Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E).
La tribu borélienne sur R étant engendrée (par exemple) par l'ensemble des demi-droites de la forme ]a , +∞[, le lemme de transport assure que f est mesurable sur (E, E) si et seulement si l'image réciproque par f de chacune de ces demi-droites est dans E. Par exemple : toute fonction réelle d'une variable réelle qui est monotone est borélienne.
Pour les fonctions à valeurs dans la droite achevée = R ∪ {–∞, +∞}, un résultat analogue se vérifie avec les intervalles ]a , +∞].
Soient E un espace mesurable et (f) une suite de fonctions mesurables de E dans R (ou même dans ). Alors la fonction f définie par f = sup f (à valeurs dans ) est mesurable. En effet, l'image réciproque par f de ]a , +∞] peut s'écrire
et cet ensemble est une réunion dénombrable d'éléments de E, donc un ensemble mesurable.
Par passage aux opposés, on en déduit que, si les fonctions f de E dans sont toutes mesurables, alors la fonction inf f l'est également.
On peut alors montrer que les fonctions limites inférieure et supérieure liminf f et limsup f sont, elles aussi, mesurables.
En particulier :
les quatre dérivées de Dini d'une fonction mesurable de R dans R sont elles-mêmes mesurables ;
toute limite simple de fonctions mesurables est mesurable (ce qui d'ailleurs se démontre directement et plus généralement pour des fonctions à valeurs dans un espace métrique – mais pas à valeurs dans un espace topologique quelconque) ;
toute fonction dérivée est mesurable.
Si (E, E) est un espace métrisable séparable muni de sa tribu borélienne, toute fonction mesurable sur E (à valeurs réelles) et bornée est limite monotone de fonctions bornées continues.
Source officielle
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