Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable (en théorie des probabilités), est un couple où est un ensemble et une tribu sur . Les éléments de sont alors appelés des ensembles mesurables de .
Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure en vue de construire un espace mesuré .
En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable est appelé un espace probabilisable, l'ensemble est appelé l'univers et les éléments de la tribu sont appelés événements.
L'espace probabilisable , une fois complété d'une mesure de probabilité (c'est-à-dire une mesure telle que ) forme un espace probabilisé .
Si un ensemble quelconque :
où est l'ensemble des parties de est un espace mesurable.
est un espace mesurable, où est la tribu grossière.
Si est un espace topologique, , où est la tribu de Borel de , est un espace mesurable.
Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour , p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour , p. 35 c'est un ensemble muni d'un σ-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.
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Explore les modèles de jouets, les sigma-algèbres, les variables aléatoires à valeur T, les mesures et l'indépendance dans la théorie des probabilités.
Un espace mesurable (en théorie de la mesure), également appelé espace probabilisable (en théorie des probabilités), est un couple où est un ensemble et une tribu sur . Les éléments de sont alors appelés des ensembles mesurables de . Un espace mesurable est rarement utilisé seul : le plus souvent, il est complété d'une mesure en vue de construire un espace mesuré . En théorie des probabilités, on utilise une terminologie spécifique. Un espace mesurable est appelé un espace probabilisable, l'ensemble est appelé l'univers et les éléments de la tribu sont appelés événements.
Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives E et F. Une fonction f : E → F est dite (E, F)-mesurable si la par f de la tribu F est incluse dans E, c'est-à-dire si : L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie. Si F est l'ensemble des réels et si F est sa tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur (E, E).
En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable. Progressivement formalisées pendant le premier tiers du , les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure.
The course is based on Durrett's text book
Probability: Theory and Examples.
It takes the measure theory approach to probability theory, wherein expectations are simply abstract integrals.
In this course, various aspects of probability theory are considered. The first part is devoted to the main theorems in the field (law of large numbers, central limit theorem, concentration inequaliti